在对有源滤波器的研究中我们假设运算放大器是理想的这样我们就可以不用考虑运算放大器的特性而是只研究滤波器的响应。理想情况简化模型 在最基础的分析中通常假设运算放大器是“理想”的。这意味着它的开环增益是无穷大带宽也是无限的。在这种模型下设计者只需关注外部的无源元件电阻、电容就能确定滤波器的响应完全不需要考虑放大器自身的特性。现实情况进阶研究 文本指出为了研究增益随频率增加而下降即“滚降”对滤波器性能的影响必须打破“理想”的假设。现实中运算放大器的增益是有限的并且会随着信号频率的升高而降低。这引入了一个额外的变量使得分析变得更加复杂。现在我们希望能同时研究运算放大器增益随着频率增大会滚降对滤波器性能造成的影响。不像纯阻性电路滤波器反馈系数 β(jf) 与频率有关因而环路增益 T(jf)a(jf)×β(jf)a(jf)/[1/β(jf)]。a(jf) —— 开环增益这是运算放大器自身固有的属性。它是一个复数函数其幅值大小会随着频率 f 的增加而逐渐减小。在波特图上它表现为一条随着频率升高而不断向下倾斜的曲线。β(jf) —— 反馈系数这是由电路外部反馈网络如电阻分压器决定的参数。关键点在于 在某些复杂的滤波器电路中特别是包含电容的主动滤波器这个反馈系数不仅仅是一个常数它也会随着频率的变化而改变。T(jf) —— 环路增益这是开环增益和反馈系数的乘积。它决定了闭环系统的稳定性、精度和瞬态响应。只有当环路增益足够大时电路才能正常工作而不产生振荡。该式表明环路增益中既有 a(jf) 的零极点也有 β(jf) 的零极点即 1/β(jf) 的极零点。极点Pole 通常由电路中的储能元件如电容、电感引起会导致增益随频率增加而下降每经过一个极点增益斜率下降20dB/十倍频。零点Zero 会引起相位的变化有时能抵消一部分极点的负面影响。下面我们将会看到根数量的增加会使偏离函数 D(jf)1/[11/T(jf)] 的计算变得复杂H(jf) 也变复杂。幸运的是我们可以借用电脑进行 SPICE 仿真省去了手工计算的麻烦。一阶滤波器用1MHz 运算放大器在 PSpice 软件仿真中画出即图 4.28a 所示电路。设计参数为和。只有在 a∣(jf)∣ 和 ∣1/β(jf)∣ 的交点即 ft 附近前实际的响应才会接近理想值如图 4.28b 所示。用光标测得 H0−9.999V/V 和 f016.584kHz。高于交点后∣H∣ 的斜率从 −20dB/10 倍频变为 −40dB/10 倍频。当频率更高时C 的作用相当于一根导线故有 ∣H∣→at≈ro/ri0.01V/V(−40dB)。根据式(4.12)可得第一项为理想一阶低通截止频率20kHz第二项是T(jf)对响应的修正T≫1时近1T较小时偏离第三项是运放高频增益ah0.01的贡献。T(jf)的极零点导致偏离的核心开环增益a(jf)在10Hz有极点增益随频率升高开始滚降斜率-20dB/十倍频反馈系数β(jf)有20kHz零点和200kHz极点因电容C随频率变化的容抗故T(jf)a(jf)β(jf)在10Hz、200kHz有极点在20kHz有零点偏离机制T≫1交点前极零点影响小响应接近理想交点后在超过交叉频率点后H(jf) 与理想值明显偏离开始是由于在交叉处的极点导致了偏离后来是由于用于产生高频渐近线 ∣H(jf)∣→−40dB 的零点对在 10MHz 左右所导致的果然高频部分的响应与图 4.20b 所示的非常接近因为高频时 ro 相对于 R2 占主导使电路变得像积分器。用图 4.3b 所示的 1MHz 运算放大器将图 3.10a 所示的高通滤波器重新在 PSpice 软件仿真中画出即如图 4.29a 所示。理想设计参数直流增益H0(ideal)−R2/R1−10V/V同低通截止频率f0(ideal)1/(2πR1C1)1kHz单极点高通特征频率注意图3明确为1/(2πR1C)与低通分母R2不同交点前接近理想在a(jf)与1/β(jf)交点约100kHz附近前实际响应接近理想。实测直流增益H0−9.987V/V接近理想-10 V/V实测截止频率f0990Hz接近理想1 kHz交点后偏离理想表现出低通特性与低通趋势相反因高通反馈网络在高频的相移和增益变化且因“直通效应”输入直接耦合到输出频率远低于低通可忽略。第一项为理想一阶高通截止频率1kHz分子f/10^3保证直流增益为0高频增益-10 V/V第二项同低通为T(jf)修正。T(jf)的极零点反馈系数β(jf)在100Hz和1kHz附近各有极点和零点因电容C1在低频容抗大反馈弱高频容抗小反馈强;故T(jf)在10Hz、100Hz有极点在1kHz有零点。偏离机制T≫1时影响小交点后100kHz附近因“交叉点处极点”偏离总体响应相当于宽频带通滤波器低频被高通截止高频被运放增益滚降限制中间频段通带二阶滤波器所示的为一个常见的有代表性的多通道反馈结构二阶滤波器。电路拓扑图4.30展示了一个经典的二阶带通滤波器。它由跨接在输入和反馈路径上的两个储能元件电容 C以及电阻网络R1,R2,R3构成。这种结构利用多路反馈机制来产生双极点响应。理想假设在分析的一开始假设运放是理想的即直流开环增益 a(s)∞输入阻抗 rd∞输出阻抗 ro∞。该电路的传输函数可以表示为前级项这是在 a(s)→∞ 时的理想带通响应。它具有标准的二阶带通形式其中 ω0 是中心角频率Q 值决定了带宽和峰值的尖锐程度。修正项这一项是引入有限增益后的偏离函数。括号内的二阶多项式 (s^2…) 实际上代表了由电阻和电容构成的反馈系数 β(s) 的分母。因此整个修正项本质上反映了环路增益 T(s)a(s)β(s) 对理想响应的影响。非理想特性的影响机制文本重点分析了当运放开环增益 a(s) 随着频率升高而滚降下降时发生的物理现象低频段此时 a(s) 非常大a(s)1≈0。修正项趋近于 1电路表现出理想的带通特性。高频段转折频率 ft 附近随着 a(s) 减小修正项中的分母开始起作用。新极点的产生修正项的分母引入了新的极点。这意味着原本在高频处应该无限衰减的响应现在会受到这个新极点的影响导致高频滚降特性发生改变。斜率变化理想二阶低通或带通的高频截止部分的滚降斜率是-40 dB/decade。但由于这个新极点的影响总的响应斜率会向-20 dB/decade 靠拢即文本所说的“从 -40dB/10倍频变为 -40dB/10倍频”意指受极点牵制高频衰减变慢。性能偏离的定量分析工程设计中最关心的是中心频率 f0 和品质因数 Q 的误差。公式给出了在 Qf0≪ft即滤波器中心频率远小于运放增益带宽积的条件下的重要近似关系物理意义这个负值公式表明由于运放有限带宽的限制实际实现的 f0 和 Q 总是低于设计值产生负偏差。GBP增益带宽积的限制公式右侧的 Q×f0 代表了滤波器对运放带宽的“苛刻程度”。Q 值越高滤波器越尖锐或者f0 越高工作频率越高所需的运放增益带宽积 ft 就必须越大。如果 ft 不够大滤波器的性能就会严重劣化。综上所述这段文字揭示了有源滤波器设计中的核心权衡电路的理论设计是一回事但受制于运算放大器物理特性的非理想滚降实际电路的性能会有偏差且高Q值电路对运放的带宽要求极为苛刻。-----------------------------------------------------------------------------在图 4.30 的电路中采用 10nF 电容和其他合适的元器件使电路的 H0BP0dBf010kHzQ10并且在有限 GBP 影响下带宽偏离设计值的程度不大于 1%。求满足条件的各个元件的值。由于 BWf0/Q根据式(4.52)可得 ΔBW/BW≈−2Qf0/ft。因此GBP≥2×10×104/0.0120MHz。另一种使用高 GBP 运算放大器的方法是预失真滤波器参数使实际值和说明书所给的值正好一致。在这方面PSpice 仿真是一种非常有价值的工具它能根据需要的 ft 确定预失真值的大小。--------------------------------------------------设计一个滤波器使它满足上述的要求要求采用的是 1MHz 运算放大器。由 ft1MHz 可得 Qf0/ft10×10kHz/1MHz0.1故由式希望降低 f0 和升高 Q 的幅度约为 10%。为了得到更加精确的估值使用 PSpice 对图 4.31a 所示电路进行仿真仿真结果显示在图 4.31b 中。可以看到整体的频率响应都有一定的偏移且在高频部分下降斜率为 −40dB/10 倍频而不是 −20dB/10 倍频。光标测试结果显示在底部从测试结果可知 H0BP0.981V/V−0.166dBfL8.73kHzfH9.55kHz 和 f09.13kHz故有为了实现要求的参数值对电路进行重新设计使 f0(10×(10/9.13))kHz10.95kHzQ10(10/11.3)8.85 和 H0BP(1/0.981)V/V1.02V/V。得到图 4.31a 所示括号内的电阻值。在图 4.31b 所示的底部是预失真设计后的响应通过光标测试可得 f010.0kHz 和 Q10。--------------------------------------------------------采用 a080dB 和 GBP1MHz 的运算放大器来实现 DABP 滤波器然后借助 PSpice 深入研究其性能。讨论你的发现。借助PSpice 仿真图 4.32a 所示电路得到的响应表示在图4.32b 所示的上方结果表明 非理性运算放大器会造成f0、Q和 的减小。为了更好地理解这个问题我们可以移除R 和C, 为这个总的阻抗为感性的电路添加测试电流源 It通过ZLV/It 就可以方便地测试出感性阻抗的大小。显然运算放大器增益的滚降会使L的有效值增大甚至在10^5Hz 和10^6Hz 之间出现峰值并在高频处表现出ZL→R1。幸运的是超过10^5Hz后C占据主导使|H|的下降斜率为一20dB/10 倍频。我们可以通过使用更快的运算放大器来显 著改善响应。例如将运算放大器GBP从1MHz提高到 10MHz 后重新运行 PSpice 仿 真可以看到得到的响应更加接近理想值。核心问题运放“开环增益滚降”的后果现象运算放大器的开环增益a0不是恒定的而是随着频率升高逐渐下降滚降。对滤波器的影响频率偏移这种滚降会导致滤波器的实际中心频率 f0 和截止频率发生偏移偏离设计值。斜率变陡在高频段由于运放增益的快速下降滤波器整体的幅频响应曲线下降斜率会比理想情况更陡峭例如从 -20dB/dec 变成 -40dB/dec导致滤波特性失真。解决方案预失真Pre-distortion方法由于运放的非理想特性是已知的可通过厂商提供的宏模型在仿真软件如 PSpice 中模拟设计者可以在电路设计阶段故意反向调整参数例如故意把电阻值调偏一点。目的利用电路参数的“失真”来抵消运放带来的“失真”使得最终整体电路的性能指标如 f0 和 Q 值达到理想要求。关键经验法则重点公式层面GBP运放≥10×Q×f0工程意义留足裕量如果运放的带宽仅仅比 Qf0 高一点点那么运放自身增益的微小波动或温度变化就可能导致滤波器性能严重劣化。抑制环境干扰电路工作环境温度、电压和制造工艺的变化都会影响运放的实际 GBP。要求“高一个数量级”即大 10 倍以上是为了确保即使运放参数发生漂移滤波器依然能稳定工作在设计指标内。在设计高精度有源滤波器时不能只看运放够不够用而是要留足 10 倍以上的带宽余量并利用仿真软件进行预失真补偿才能保证电路的鲁棒性。
有限 GBP 对滤波器的影响
在对有源滤波器的研究中我们假设运算放大器是理想的这样我们就可以不用考虑运算放大器的特性而是只研究滤波器的响应。理想情况简化模型 在最基础的分析中通常假设运算放大器是“理想”的。这意味着它的开环增益是无穷大带宽也是无限的。在这种模型下设计者只需关注外部的无源元件电阻、电容就能确定滤波器的响应完全不需要考虑放大器自身的特性。现实情况进阶研究 文本指出为了研究增益随频率增加而下降即“滚降”对滤波器性能的影响必须打破“理想”的假设。现实中运算放大器的增益是有限的并且会随着信号频率的升高而降低。这引入了一个额外的变量使得分析变得更加复杂。现在我们希望能同时研究运算放大器增益随着频率增大会滚降对滤波器性能造成的影响。不像纯阻性电路滤波器反馈系数 β(jf) 与频率有关因而环路增益 T(jf)a(jf)×β(jf)a(jf)/[1/β(jf)]。a(jf) —— 开环增益这是运算放大器自身固有的属性。它是一个复数函数其幅值大小会随着频率 f 的增加而逐渐减小。在波特图上它表现为一条随着频率升高而不断向下倾斜的曲线。β(jf) —— 反馈系数这是由电路外部反馈网络如电阻分压器决定的参数。关键点在于 在某些复杂的滤波器电路中特别是包含电容的主动滤波器这个反馈系数不仅仅是一个常数它也会随着频率的变化而改变。T(jf) —— 环路增益这是开环增益和反馈系数的乘积。它决定了闭环系统的稳定性、精度和瞬态响应。只有当环路增益足够大时电路才能正常工作而不产生振荡。该式表明环路增益中既有 a(jf) 的零极点也有 β(jf) 的零极点即 1/β(jf) 的极零点。极点Pole 通常由电路中的储能元件如电容、电感引起会导致增益随频率增加而下降每经过一个极点增益斜率下降20dB/十倍频。零点Zero 会引起相位的变化有时能抵消一部分极点的负面影响。下面我们将会看到根数量的增加会使偏离函数 D(jf)1/[11/T(jf)] 的计算变得复杂H(jf) 也变复杂。幸运的是我们可以借用电脑进行 SPICE 仿真省去了手工计算的麻烦。一阶滤波器用1MHz 运算放大器在 PSpice 软件仿真中画出即图 4.28a 所示电路。设计参数为和。只有在 a∣(jf)∣ 和 ∣1/β(jf)∣ 的交点即 ft 附近前实际的响应才会接近理想值如图 4.28b 所示。用光标测得 H0−9.999V/V 和 f016.584kHz。高于交点后∣H∣ 的斜率从 −20dB/10 倍频变为 −40dB/10 倍频。当频率更高时C 的作用相当于一根导线故有 ∣H∣→at≈ro/ri0.01V/V(−40dB)。根据式(4.12)可得第一项为理想一阶低通截止频率20kHz第二项是T(jf)对响应的修正T≫1时近1T较小时偏离第三项是运放高频增益ah0.01的贡献。T(jf)的极零点导致偏离的核心开环增益a(jf)在10Hz有极点增益随频率升高开始滚降斜率-20dB/十倍频反馈系数β(jf)有20kHz零点和200kHz极点因电容C随频率变化的容抗故T(jf)a(jf)β(jf)在10Hz、200kHz有极点在20kHz有零点偏离机制T≫1交点前极零点影响小响应接近理想交点后在超过交叉频率点后H(jf) 与理想值明显偏离开始是由于在交叉处的极点导致了偏离后来是由于用于产生高频渐近线 ∣H(jf)∣→−40dB 的零点对在 10MHz 左右所导致的果然高频部分的响应与图 4.20b 所示的非常接近因为高频时 ro 相对于 R2 占主导使电路变得像积分器。用图 4.3b 所示的 1MHz 运算放大器将图 3.10a 所示的高通滤波器重新在 PSpice 软件仿真中画出即如图 4.29a 所示。理想设计参数直流增益H0(ideal)−R2/R1−10V/V同低通截止频率f0(ideal)1/(2πR1C1)1kHz单极点高通特征频率注意图3明确为1/(2πR1C)与低通分母R2不同交点前接近理想在a(jf)与1/β(jf)交点约100kHz附近前实际响应接近理想。实测直流增益H0−9.987V/V接近理想-10 V/V实测截止频率f0990Hz接近理想1 kHz交点后偏离理想表现出低通特性与低通趋势相反因高通反馈网络在高频的相移和增益变化且因“直通效应”输入直接耦合到输出频率远低于低通可忽略。第一项为理想一阶高通截止频率1kHz分子f/10^3保证直流增益为0高频增益-10 V/V第二项同低通为T(jf)修正。T(jf)的极零点反馈系数β(jf)在100Hz和1kHz附近各有极点和零点因电容C1在低频容抗大反馈弱高频容抗小反馈强;故T(jf)在10Hz、100Hz有极点在1kHz有零点。偏离机制T≫1时影响小交点后100kHz附近因“交叉点处极点”偏离总体响应相当于宽频带通滤波器低频被高通截止高频被运放增益滚降限制中间频段通带二阶滤波器所示的为一个常见的有代表性的多通道反馈结构二阶滤波器。电路拓扑图4.30展示了一个经典的二阶带通滤波器。它由跨接在输入和反馈路径上的两个储能元件电容 C以及电阻网络R1,R2,R3构成。这种结构利用多路反馈机制来产生双极点响应。理想假设在分析的一开始假设运放是理想的即直流开环增益 a(s)∞输入阻抗 rd∞输出阻抗 ro∞。该电路的传输函数可以表示为前级项这是在 a(s)→∞ 时的理想带通响应。它具有标准的二阶带通形式其中 ω0 是中心角频率Q 值决定了带宽和峰值的尖锐程度。修正项这一项是引入有限增益后的偏离函数。括号内的二阶多项式 (s^2…) 实际上代表了由电阻和电容构成的反馈系数 β(s) 的分母。因此整个修正项本质上反映了环路增益 T(s)a(s)β(s) 对理想响应的影响。非理想特性的影响机制文本重点分析了当运放开环增益 a(s) 随着频率升高而滚降下降时发生的物理现象低频段此时 a(s) 非常大a(s)1≈0。修正项趋近于 1电路表现出理想的带通特性。高频段转折频率 ft 附近随着 a(s) 减小修正项中的分母开始起作用。新极点的产生修正项的分母引入了新的极点。这意味着原本在高频处应该无限衰减的响应现在会受到这个新极点的影响导致高频滚降特性发生改变。斜率变化理想二阶低通或带通的高频截止部分的滚降斜率是-40 dB/decade。但由于这个新极点的影响总的响应斜率会向-20 dB/decade 靠拢即文本所说的“从 -40dB/10倍频变为 -40dB/10倍频”意指受极点牵制高频衰减变慢。性能偏离的定量分析工程设计中最关心的是中心频率 f0 和品质因数 Q 的误差。公式给出了在 Qf0≪ft即滤波器中心频率远小于运放增益带宽积的条件下的重要近似关系物理意义这个负值公式表明由于运放有限带宽的限制实际实现的 f0 和 Q 总是低于设计值产生负偏差。GBP增益带宽积的限制公式右侧的 Q×f0 代表了滤波器对运放带宽的“苛刻程度”。Q 值越高滤波器越尖锐或者f0 越高工作频率越高所需的运放增益带宽积 ft 就必须越大。如果 ft 不够大滤波器的性能就会严重劣化。综上所述这段文字揭示了有源滤波器设计中的核心权衡电路的理论设计是一回事但受制于运算放大器物理特性的非理想滚降实际电路的性能会有偏差且高Q值电路对运放的带宽要求极为苛刻。-----------------------------------------------------------------------------在图 4.30 的电路中采用 10nF 电容和其他合适的元器件使电路的 H0BP0dBf010kHzQ10并且在有限 GBP 影响下带宽偏离设计值的程度不大于 1%。求满足条件的各个元件的值。由于 BWf0/Q根据式(4.52)可得 ΔBW/BW≈−2Qf0/ft。因此GBP≥2×10×104/0.0120MHz。另一种使用高 GBP 运算放大器的方法是预失真滤波器参数使实际值和说明书所给的值正好一致。在这方面PSpice 仿真是一种非常有价值的工具它能根据需要的 ft 确定预失真值的大小。--------------------------------------------------设计一个滤波器使它满足上述的要求要求采用的是 1MHz 运算放大器。由 ft1MHz 可得 Qf0/ft10×10kHz/1MHz0.1故由式希望降低 f0 和升高 Q 的幅度约为 10%。为了得到更加精确的估值使用 PSpice 对图 4.31a 所示电路进行仿真仿真结果显示在图 4.31b 中。可以看到整体的频率响应都有一定的偏移且在高频部分下降斜率为 −40dB/10 倍频而不是 −20dB/10 倍频。光标测试结果显示在底部从测试结果可知 H0BP0.981V/V−0.166dBfL8.73kHzfH9.55kHz 和 f09.13kHz故有为了实现要求的参数值对电路进行重新设计使 f0(10×(10/9.13))kHz10.95kHzQ10(10/11.3)8.85 和 H0BP(1/0.981)V/V1.02V/V。得到图 4.31a 所示括号内的电阻值。在图 4.31b 所示的底部是预失真设计后的响应通过光标测试可得 f010.0kHz 和 Q10。--------------------------------------------------------采用 a080dB 和 GBP1MHz 的运算放大器来实现 DABP 滤波器然后借助 PSpice 深入研究其性能。讨论你的发现。借助PSpice 仿真图 4.32a 所示电路得到的响应表示在图4.32b 所示的上方结果表明 非理性运算放大器会造成f0、Q和 的减小。为了更好地理解这个问题我们可以移除R 和C, 为这个总的阻抗为感性的电路添加测试电流源 It通过ZLV/It 就可以方便地测试出感性阻抗的大小。显然运算放大器增益的滚降会使L的有效值增大甚至在10^5Hz 和10^6Hz 之间出现峰值并在高频处表现出ZL→R1。幸运的是超过10^5Hz后C占据主导使|H|的下降斜率为一20dB/10 倍频。我们可以通过使用更快的运算放大器来显 著改善响应。例如将运算放大器GBP从1MHz提高到 10MHz 后重新运行 PSpice 仿 真可以看到得到的响应更加接近理想值。核心问题运放“开环增益滚降”的后果现象运算放大器的开环增益a0不是恒定的而是随着频率升高逐渐下降滚降。对滤波器的影响频率偏移这种滚降会导致滤波器的实际中心频率 f0 和截止频率发生偏移偏离设计值。斜率变陡在高频段由于运放增益的快速下降滤波器整体的幅频响应曲线下降斜率会比理想情况更陡峭例如从 -20dB/dec 变成 -40dB/dec导致滤波特性失真。解决方案预失真Pre-distortion方法由于运放的非理想特性是已知的可通过厂商提供的宏模型在仿真软件如 PSpice 中模拟设计者可以在电路设计阶段故意反向调整参数例如故意把电阻值调偏一点。目的利用电路参数的“失真”来抵消运放带来的“失真”使得最终整体电路的性能指标如 f0 和 Q 值达到理想要求。关键经验法则重点公式层面GBP运放≥10×Q×f0工程意义留足裕量如果运放的带宽仅仅比 Qf0 高一点点那么运放自身增益的微小波动或温度变化就可能导致滤波器性能严重劣化。抑制环境干扰电路工作环境温度、电压和制造工艺的变化都会影响运放的实际 GBP。要求“高一个数量级”即大 10 倍以上是为了确保即使运放参数发生漂移滤波器依然能稳定工作在设计指标内。在设计高精度有源滤波器时不能只看运放够不够用而是要留足 10 倍以上的带宽余量并利用仿真软件进行预失真补偿才能保证电路的鲁棒性。